a), b), c) Grandezas e Medidas
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade padrão. Área é a medida de uma superfície (bidimensional, ex: m²), enquanto Volume é a medida do espaço ocupado (tridimensional, ex: m³).
A conversão de unidades segue uma lógica de potências de 10. Para comprimento, cada "casa" na escala (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) vale 10. Para áreas, vale 100 (10²). Para volumes, vale 1000 (10³).
Exemplos de Conversão
- Comprimento: 1,5 km = 1,5 x 1000 = 1500 m.
- Área: 3 m² = 3 x 100 x 100 = 30.000 cm². (Dois saltos na escala).
- Volume/Capacidade: 2 m³ = 2 x 1000 = 2000 dm³. Como 1 dm³ = 1 L, temos 2000 L.
d), e), f) Reta e Posições Relativas
Uma reta é infinita. Um segmento de reta é um pedaço finito da reta, com começo e fim. Uma semirreta tem começo, mas não tem fim. A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular que passa exatamente no seu ponto médio.
Duas retas em um plano podem ser paralelas (nunca se cruzam), concorrentes (cruzam-se em um ponto) ou coincidentes (são a mesma reta).
g), h), i) Ângulos e Teoremas
Ângulos são medidos em graus. Ângulos complementares somam 90°, e suplementares somam 180°.
Teorema de Tales
Se retas paralelas são cortadas por transversais, os segmentos correspondentes são proporcionais.
a/b = c/d
- Exemplo 1: Se a=2, b=4, c=3, então 2/4 = 3/d -> 2d = 12 -> d=6.
- Exemplo 2: Segmentos de uma transversal são x e 10. Na outra, 5 e 8. Então x/10 = 5/8 -> 8x = 50 -> x=6,25.
- Exemplo 3 (Teorema Angular): Em um triângulo, uma reta paralela a um lado divide os outros dois lados em segmentos proporcionais.
Teorema da Bissetriz Interna
A bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
c/x = b/y
- Exemplo 1: Lados b=10, c=8. O lado oposto (12) é dividido em x e y. Temos 8/x = 10/y e x+y=12. Resolvendo o sistema, encontramos os segmentos.
- Exemplo 2: Lados c=6, b=9. Lado oposto dividido em x=4 e y. Então 6/4 = 9/y -> 6y=36 -> y=6.
- Exemplo 3: Um triângulo isósceles com base 10. A bissetriz do ângulo do vértice divide a base em dois segmentos de 5.
j), k), l), m) Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais.
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
a² = b² + c²
- Exemplo 1 (Achar hipotenusa): Catetos b=3, c=4. a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. a = √25 = 5.
- Exemplo 2 (Achar cateto): Hipotenusa a=13, cateto b=5. 13² = 5² + c² -> 169 = 25 + c² -> c² = 144 -> c=12.
- Exemplo 3 (Diagonal do quadrado): Quadrado de lado 6. A diagonal é a hipotenusa. d² = 6² + 6² = 72. d = √72 = 6√2.
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
a⋅h = b⋅c | h² = m⋅n | b² = a⋅m | c² = a⋅n
- Exemplo 1: Projeções m=4, n=9. A altura h² = 4*9 = 36 -> h=6.
- Exemplo 2: Catetos b=6, c=8. A hipotenusa a=10. A altura será 10*h = 6*8 -> 10h=48 -> h=4,8.
- Exemplo 3: Hipotenusa a=12, projeção m=3. O cateto b será b² = 12*3 = 36 -> b=6.
Razões Trigonométricas
sen(α) = co/hip | cos(α) = ca/hip | tg(α) = co/ca
- Exemplo 1: Cateto oposto = 6, hipotenusa = 10. sen(α) = 6/10 = 0,6.
- Exemplo 2: Cateto adjacente = 8, hipotenusa = 10. cos(α) = 8/10 = 0,8.
- Exemplo 3: Cateto oposto = 6, cateto adjacente = 8. tg(α) = 6/8 = 0,75.
n) Lei dos Senos e Cossenos
Lei dos Senos
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
- Exemplo 1: Lado a=10, ângulo A=30°, ângulo B=45°. Achar lado b. 10/sen(30°) = b/sen(45°) -> 10/0,5 = b/0,707 -> b = 20 * 0,707 = 14,14.
- Exemplo 2: Lado c=20, ângulo C=60°, ângulo A=45°. Achar lado a. a/sen(45°) = 20/sen(60°) -> a/0,707 = 20/0,866 -> a ≈ 16,33.
- Exemplo 3: Num triângulo, um lado de 8cm é oposto a um ângulo de 30°. Qual o diâmetro da circunferência circunscrita? Pela lei estendida, 8/sen(30°) = 2R -> 8/0,5 = 2R -> 16 = 2R -> R=8. Diâmetro = 16cm.
Lei dos Cossenos
a² = b² + c² - 2bc⋅cos(A)
- Exemplo 1: Lados b=5, c=8, ângulo A=60°. Achar lado a. a² = 5²+8² - 2*5*8*cos(60°) = 25+64 - 80*0,5 = 89 - 40 = 49. a=7.
- Exemplo 2: Lados a=7, b=5, c=8. Achar o ângulo A. 7² = 5²+8² - 2*5*8*cos(A) -> 49=89-80*cos(A) -> -40=-80*cos(A) -> cos(A)=0,5 -> A=60°.
- Exemplo 3: Lados b=3, c=10, ângulo A=120°. Achar lado a. a² = 3²+10² - 2*3*10*cos(120°) = 9+100 - 60*(-0,5) = 109 + 30 = 139. a = √139.
o), p), q) Polígonos
Polígonos regulares têm todos os lados e ângulos iguais.
Soma dos Ângulos Internos (Sᵢ)
Sᵢ = (n - 2) ⋅ 180°
- Exemplo (Pentágono n=5): Sᵢ = (5-2)*180 = 3*180 = 540°.
- Exemplo (Hexágono n=6): Sᵢ = (6-2)*180 = 4*180 = 720°.
- Exemplo (Decágono n=10): Sᵢ = (10-2)*180 = 8*180 = 1440°.
Número de Diagonais (d)
d = n(n - 3) / 2
- Exemplo (Pentágono n=5): d = 5(5-3)/2 = 5*2/2 = 5 diagonais.
- Exemplo (Octógono n=8): d = 8(8-3)/2 = 8*5/2 = 20 diagonais.
- Exemplo (Icoságono n=20): d = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 170 diagonais.
r), s), t) Circunferência e Áreas
O perímetro é a soma dos lados. A área é a medida da superfície.
Comprimento e Área da Circunferência
C = 2πr | A = πr²
- Exemplo 1 (Comprimento): Raio r=5. C = 2 * 3,14 * 5 = 31,4.
- Exemplo 2 (Área): Raio r=5. A = 3,14 * 5² = 3,14 * 25 = 78,5.
- Exemplo 3 (Caminho inverso): Se a área é 12,56, qual o raio? 12,56 = 3,14 * r² -> r² = 4 -> r=2.
Relação entre Cordas
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
- Exemplo 1: Segmentos de uma corda são 3 e 8. Na outra, um é 4. 3*8 = 4*x -> 24=4x -> x=6.
- Exemplo 2: Segmentos de uma são 2 e 10. Na outra, x e 5. 2*10 = x*5 -> 20=5x -> x=4.
- Exemplo 3: As cordas se cruzam no ponto médio e medem 12 cada. Os segmentos são 6 e 6. 6*6 = 6*6 -> 36=36.